epsilon、tiny和huge是Fortran标准定义的数值模型查询函数。对于实数模型，epsilon描述1附近的相对间隔，tiny给出最小正模型数，huge给出最大有限模型数。它们查询的是参数类型和kind所对应的模型，而不是参数当前值。常用于评估舍入误差、选择与精度相适应的容差，以及在乘法、缩放和迭代计算前检查上溢或下溢风险，适合与iso_fortran_env提供的real32、real64结合使用。
语法结构
relativeSpacing = epsilon(realModelValue)
smallestModelValue = tiny(realModelValue)
largestModelValue = huge(realModelValue)
- epsilon(x)要求x为实数，返回与x同kind的标量。它满足1+epsilon(x)>1，表示该实数模型在1附近能够分开的相邻数间隔。
- tiny(x)要求x为实数，返回同kind实数模型中的最小正模型数。在采用IEEE渐进下溢的系统上还可能存在更小的次正规数，但其有效精度会降低。
- huge(x)可查询整数或实数模型；本文只查询实数。它返回最大有限模型数，并不表示无穷大。
- 实参只用于选择类型和kind，因此epsilon(1.0_real32)与epsilon(1000.0_real32)相同。查询任意数值附近的实际间隔应使用spacing，不能把epsilon机械地当成所有量级通用的绝对容差。
本文代码
! 比较REAL32与REAL64的模型参数，并用查询结果判断舍入和范围风险。
program machineLimitsDemo
use iso_fortran_env, only: real32, real64
implicit none
real(real32) :: one32, epsilon32, tiny32, huge32
real(real32) :: largeValue, multiplier, concentration, decayFactor
real(real64) :: one64
one32 = 1.0_real32
one64 = 1.0_real64
epsilon32 = epsilon(one32)
tiny32 = tiny(one32)
huge32 = huge(one32)
print "(A,ES16.6E3)", "REAL32 epsilon：", epsilon32
print "(A,ES16.6E3)", "REAL64 epsilon：", epsilon(one64)
print "(A,ES16.6E3)", "REAL32 tiny： ", tiny32
print "(A,ES16.6E3)", "REAL64 tiny： ", tiny(one64)
print "(A,ES16.6E3)", "REAL32 huge： ", huge32
print "(A,ES16.6E3)", "REAL64 huge： ", huge(one64)
print "(A,ES16.6E3)", "加上epsilon/2后的增量：", &
(one32 + epsilon32 / 2.0_real32) - one32
print "(A,ES16.6E3)", "加上epsilon后的增量： ", &
(one32 + epsilon32) - one32
largeValue = 0.75_real32 * huge32
multiplier = 2.0_real32
print "(A,L1)", "largeValue * multiplier会溢出：", &
abs(largeValue) > huge32 / abs(multiplier)
concentration = 1.0e-30_real32
decayFactor = 1.0e-10_real32
print "(A,L1)", "衰减结果低于最小正规数：", &
concentration * decayFactor < tiny32
print "(A,ES16.6E3)", "衰减结果：", concentration * decayFactor
end program machineLimitsDemo
编译运行
(base) hong@hongdeMacBook-Pro 052.machineLimits % gfortran -Wall -Wextra -std=f2018 exampleMachineLimits.f90 -o machineLimitsDemo
(base) hong@hongdeMacBook-Pro 052.machineLimits % ./machineLimitsDemo
REAL32 epsilon： 1.192093E-007
REAL64 epsilon： 2.220446E-016
REAL32 tiny： 1.175494E-038
REAL64 tiny： 2.225074E-308
REAL32 huge： 3.402823E+038
REAL64 huge： 1.797693E+308
加上epsilon/2后的增量： 0.000000E+000
加上epsilon后的增量： 1.192093E-007
largeValue * multiplier会溢出：T
衰减结果低于最小正规数：T
衰减结果： 9.999946E-041
现象分析
real32的epsilon约为1.192093×10-7，而real64约为2.220446×10-16。后者在1附近的相邻数间隔更小，因此能保留更多有效数字。在默认舍入方式下，real32的epsilon/2不足以使1.0移动到下一个可表示数，先做加法再减去1.0得到0；加入完整epsilon后则得到1.192093×10-7。
real32的正规范围约从1.175494×10-38延伸到3.402823×1038，real64则约从2.225074×10-308延伸到1.797693×10308。这说明real64不仅精度更高，指数范围也远大于real32；但代价通常是每个数占用更多存储空间，并可能增加内存带宽开销。
largeValue等于0.75×huge，若直接再乘2，理论结果为1.5×huge，超出real32最大有限值。代码没有执行危险乘法，而是将条件改写为abs(largeValue)>huge/abs(multiplier)；0.75×huge大于0.5×huge，因此输出T。实际程序还应单独处理乘数为零以及符号等边界情况。
浓度1.0×10-30乘衰减因子1.0×10-10，数学结果为1.0×10-40，小于real32的tiny。当前平台支持IEEE次正规数，所以结果没有立即变成零，而是以降低精度的9.999946×10-41保存。tiny标记的是进入次正规或下溢敏感区域的边界，不能简单理解成“任何小于tiny的结果都等于零”。
核心知识点
- epsilon表示1附近的相对间隔，不是任意量级下通用的绝对误差，也不应直接作为所有浮点比较的固定容差。
- tiny是最小正模型数；支持渐进下溢时可能存在更小的次正规值，但精度会逐步降低。
- huge是最大有限模型数。通过除法形式预检乘法范围，可以避免先发生溢出再判断。
- 三个查询结果由实参的类型和kind决定，与实参当前数值无关；使用查询函数比硬编码特定机器常数更可移植。
- real64相较real32同时提供更细的有效精度和更宽的指数范围，应根据计算误差、数据规模和资源成本选择。