017.precedence_运算优先级

运算优先级是指：一个表达式中同时出现多个运算时，程序默认的计算顺序。

本文代码

program precedenceDemo
  implicit none
  real :: pi
  complex :: eulerIdentity ! 欧拉恒等式e^(i*pi)+1的计算结果
  pi=acos(-1.0)
  eulerIdentity=exp((0.0,1.0)*pi)+1.0 ! 先算括号中的i*pi，再算exp，最后加1
  print "(A)","运算优先级："
  print "(A)","欧拉恒等式：e^(i*pi)+1=0"
  print "(A,F12.8)","pi=",pi
  print "(A,2F14.8)","计算结果实部和虚部=",eulerIdentity
end program precedenceDemo

编译运行

(base) hong@hongdeMacBook-Pro 017.precedence % gfortran examplePrecedence.f90
(base) hong@hongdeMacBook-Pro 017.precedence % ./a.out                       
运算优先级：
欧拉恒等式：e^(i*pi)+1=0
pi=  3.14159274
计算结果实部和虚部=    0.00000000   -0.00000009
(base) hong@hongdeMacBook-Pro 017.precedence % 

核心代码

eulerIdentity=exp((0.0,1.0)*pi)+1.0

对应数学公式：$e^{i\pi}+1=0$

• 这行代码中同时出现了括号、复数乘法、函数调用exp()和加法。
• 计算顺序可以理解为：(0.0,1.0)=0+1i=i
• 先计算：$i\pi$
• 再计算：$e^{i\pi}$
• 最后计算：$e^{i\pi}+1$
• 括号的作用是明确告诉程序和读者：$e^{i\pi}$中的指数部分是整个$i\pi$

结果分析

• pi由$\arccos(-1)=\pi$计算得到，$\pi \approx 3.14159274$。再不厌其烦重复一边，由于使用real单精度实数，所以pi是圆周率的近似值，双精度也是近似值。
• 核心表达式eulerIdentity=exp((0.0,1.0)*pi)+1.0数学上对应$e^{i\pi}+1=0$
• 根据欧拉恒等式程序输出“计算结果实部和虚部=0.00000000 -0.00000009”
• 虚部不是严格的 0，而是 -0.00000009，这是浮点近似误差造成的。原因包括：pi是近似值、complex计算使用浮点数、exp()函数计算也存在数值近似，本例结果应理解为$e^{i\pi}+1\approx 0$

知识点记录

• 欧拉恒等式是数学中的经典公式，把几个重要常数联系在一起$e,\ i,\ \pi,\ 1,\ 0$
• fortran中复数字面量写作：(实部,虚部)，所以(0.0,1.0)对应数学中的0+1i也就是虚数单位$i$。
• fortran中指数函数写作：exp(x)，当x是复数时，exp(x)会按复数指数函数计算。本例exp((0.0,1.0)*pi)对应数学公式：$e^{i\pi}$
• 另外acos(-1.0) 可以用来得到圆周率近似值：括号()可以明确表达式的计算顺序。即使程序按默认优先级也能计算，适当加括号可以让公式更清楚。
• 运行结果中的微小误差来自浮点数近似，不代表公式错误。对于实数和复数计算，程序结果通常是数学精确值的近似。