048.sqrt_SQRT平方根内在函数

sqrt是Fortran标准定义的泛型、元素内在函数，用于计算实数或复数的平方根。实数参数必须非负并返回实数；复数参数返回复数主平方根，结果的kind与参数相同。它常用于频率、距离、能量等包含开方的物理计算，适合与cmplx结合，在阻尼振动、波动分析等特征方程出现负判别式的情况中使用。

语法结构

realResult = sqrt(realArgument)
complexResult = sqrt(complexArgument)

• 参数只能是real或complex，不能直接把整数传给sqrt。
• 实数参数小于零时不满足实数平方根的定义域。即使接收结果的变量是复数，sqrt仍根据参数类型选择运算，必须先把负实数转换成复数。
• 复数通常有互为相反数的两个平方根，sqrt返回其中的主平方根；另一个平方根是该结果的相反数。
• 作为元素函数，sqrt也可以逐元素作用于实数或复数数组。

本文代码

! SQRT计算振动系统的固有角频率和复数特征根。
program sqrtDemo
  implicit none

  real :: mass, damping, stiffness, naturalFrequency, discriminant
  complex :: complexDiscriminant, root1, root2

  mass = 1.0
  damping = 2.0
  stiffness = 10.0

  naturalFrequency = sqrt(stiffness / mass)
  discriminant = damping**2 - 4.0 * mass * stiffness
  complexDiscriminant = cmplx(discriminant, 0.0)
  root1 = (-damping + sqrt(complexDiscriminant)) / (2.0 * mass)
  root2 = (-damping - sqrt(complexDiscriminant)) / (2.0 * mass)

  print "(A,F7.4,1X,A)", "固有角频率：", naturalFrequency, "rad/s"
  print "(A,F5.1)", "判别式：", discriminant
  print "(A,2F6.1)", "判别式的主平方根：", sqrt(complexDiscriminant)
  print "(A,2F6.1)", "特征根1：", root1
  print "(A,2F6.1)", "特征根2：", root2
end program sqrtDemo

编译运行

(base) hong@hongdeMacBook-Pro 048.sqrt % gfortran -Wall -Wextra -std=f2018 exampleSqrt.f90
(base) hong@hongdeMacBook-Pro 048.sqrt % ./a.out
固有角频率： 3.1623 rad/s
判别式：-36.0
判别式的主平方根：   0.0   6.0
特征根1：  -1.0   3.0
特征根2：  -1.0  -3.0

现象分析

质量-弹簧系统的无阻尼固有角频率为$\omega_0=\sqrt{k/m}$。代入刚度k=10与质量m=1，先得到k/m=10，再由sqrt(10.0)得到约3.1622777，按四位小数显示为3.1623 rad/s。参数10.0是非负实数，因此这一步在实数域中完成。

含阻尼系统的特征方程为$mr^2+cr+k=0$，其中m=1、阻尼系数c=2、k=10。判别式$D=c^2-4mk$，代入后得到4-40=-36。负实数-36不能直接得到实数平方根，代码先用cmplx(discriminant,0.0)构造-36+0i，再由sqrt得到主平方根0+6i。

特征根公式为$r_{1,2}=\frac{-c\pm\sqrt{D}}{2m}$。代入-c=-2、√D=6i、2m=2，第一根为(-2+6i)/2=-1+3i，第二根为(-2-6i)/2=-1-3i。负实部-1表示振动幅度随时间衰减，虚部的绝对值3表示振荡角频率；两个根互为共轭复数。若采用判别式的另一个平方根-6i，只会交换两个特征根的先后顺序。

核心知识点

• sqrt只接受实数或复数，返回值与参数类型相同，结果kind也与参数一致。
• 实数参数必须非负；需要计算负数的平方根时，必须在调用sqrt之前将参数转换为复数。
• 复数sqrt返回主平方根，另一个平方根是返回值的相反数。
• 接收变量的类型不能改变函数根据实参类型选择的计算域，参数类型才是关键。